Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB=PC=

5

．設面PAD與面PBC的交線為l，則二面角A-l-B的大小為

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：如圖所示，取BC邊的中點O，連接OP，由于PB=PC=

5

．可得PO⊥BC．由于平面PBC⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD．以OB為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標系O-xyz．分別求出兩個平面的法向量及其夾角即可．

解答： 解：如圖所示，取BC邊的中點O，連接OP，
∵PB=PC=

5

．
∴PO⊥BC，
∵平面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．
以OB為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標系O-xyz．
∵底面ABCD是邊長為2的正方形，
則P（0，0，2），A（1，-2，0），D（-1，-2，0）．

AD

=（-2，0，0），

PA

=（1，-2，-2）．
取平面PBC的法向量

m

=(0，1，0)．
設平面PAD的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AD =-2x=0 n • PA =x-2y-2z=0

，取y=1，則x=0，z=-1．
∴

n

=（0，1，-1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2

=

2

2

，
∴＜

m

，

n

＞=45°．
由圖可知：二面角A-l-B為銳角，
因此二面角A-l-B的大小為45°．
故答案為：45°．

點評：本題考查了利用兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法、線面面面垂直的判定與性質定理，考查了空間想象能力，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．