(2013•上海)已知拋物線C:y2=4x 的焦點(diǎn)為F.
(1)點(diǎn)A,P滿足
AP
=-2
FA
.當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上?如果存在,求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P和A的坐標(biāo),求出拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo),由
AP
=-2
FA
得出P點(diǎn)和A點(diǎn)的關(guān)系,由代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),在設(shè)出其關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo),由斜率關(guān)系及中點(diǎn)在y=2x上得到兩對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,再由點(diǎn)Q在拋物線上,把其坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA,yA),則
AP
=(x-xA,y-yA)
,
因?yàn)镕的坐標(biāo)為(1,0),所以
FA
=(xA-1,yA)
,
AP
=-2
FA
,得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).
x-xA=-2(xA-1)
y-yA=-2yA
,解得
xA=2-x
yA=-y

代入y2=4x,得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8-4x.
(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,0).點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為Q(x,y),
y
x-t
=-
1
2
y
2
=x+t
,解得
x=-
3
5
t
y=
4
5
t

若Q在C上,將Q的坐標(biāo)代入y2=4x,得4t2+15t=0,即t=0或t=-
15
4

所以存在滿足題意的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(0,0)和(-
15
4
,0
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了軌跡方程,考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系,考查了代入法求曲線方程,考查了存在性問題的求解方法,屬中檔題.
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(2013•上海)已知圓柱Ω的母線長為l,底面半徑為r,O是上底面圓心,A,B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn),BC是母線,如圖,若直線OA與BC所成角的大小為
π
6
,則
l
r
=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(2)求函數(shù)h(x)=log2
2x4-x
 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)說明理由,并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•上海)已知a,b,c∈R,“b2-4ac<0”是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的( 。

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(2013•上海)已知向量
a
=(1,k)
b
=(9,k-6)
.若
a
b
,則實(shí)數(shù) k=
-
3
4
-
3
4

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