(2013•上海)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(2)求函數(shù)h(x)=log2
2x4-x
 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)說明理由,并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改,使之成為真命題(不必證明).
分析:(1)先寫出平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù),利用題設(shè)真命題知,函數(shù)g(x)圖象對(duì)稱中心.
(2)設(shè)h(x)=log2
2x
4-x
 的對(duì)稱中心為P(a,b),由題設(shè)知函數(shù)h(x+a)-b是奇函數(shù),從而求出a,b的值,即可得出圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo).
(3)此命題是假命題.舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對(duì)稱圖象,但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
解答:解:(1)平移后圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=x3-3x,
由于函數(shù)y=x3-3x是奇函數(shù),由題設(shè)真命題知,函數(shù)g(x)圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(1,-2).
(2)設(shè)h(x)=log2
2x
4-x
 的對(duì)稱中心為P(a,b),
由題設(shè)知函數(shù)h(x+a)-b是奇函數(shù).
設(shè)f(x)=h(x+a)-b,則f(x)=log2
2(x+a)
4-(x+a)
-b,
即f(x)=log2
2x+2a
4-x-a
-b

由不等式
2x+2a
4-x-a
>0
的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則-a+(4-a)=0,得a=2.
此時(shí)f(x)=log2
2(x+2)
4-(x+2)
-b,x∈(-2,2).
任取x∈(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得b=1,
所以函數(shù)h(x)=log2
2x
4-x
 圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(2,1).
(3)此命題是假命題.
舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=-x成軸對(duì)稱圖象,
但是對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-b總不是偶函數(shù).
修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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(2013•上海)已知圓柱Ω的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,O是上底面圓心,A,B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn),BC是母線,如圖,若直線OA與BC所成角的大小為
π
6
,則
l
r
=
3
3

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(2013•上海)已知a,b,c∈R,“b2-4ac<0”是“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的( 。

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(2013•上海)已知向量
a
=(1,k)
b
=(9,k-6)
.若
a
b
,則實(shí)數(shù) k=
-
3
4
-
3
4

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(2013•上海)已知拋物線C:y2=4x 的焦點(diǎn)為F.
(1)點(diǎn)A,P滿足
AP
=-2
FA
.當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上?如果存在,求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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