Question

設(shè)(

2

2

+x)2n=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ，則（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）²=

(

1

4

)n

．

Answer 1

分析：在所給的條件中，令x=1可得一個等式，再令x=-1又可得到一個等式，再根據(jù)（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）² =（a0+a1+a2+a3+…+a2n）（a0-a1+a2-a3+…+a2n），運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：在設(shè)(

2

2

+x)2n=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ中，
令x=1可得 a0+a1+a2+a3+…+a2n=(

2

2

+1)2n，
再令x=-1可得 a0-a1+a2-a3+…+a2n=(

2

2

-1)2n，
（a₀+a₂+…+a_2n）²-（a₁+a₃+…+a_2n-1）² =（a0+a1+a2+a3+…+a2n）（a0-a1+a2-a3+…+a2n）
=(

2

2

+1)2n•(

2

2

-1)2n=

1

4n

，
故答案為

1

4n

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通過給變量取值求得展開式的系數(shù)和，屬于中檔題．