Question

在四邊形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），點B在x軸上，BC∥AD，且對角線AC⊥BD．
（Ⅰ）求點C的軌跡方程；
（Ⅱ）若點P是直線y=2x-5上任意一點，過點P作點C的軌跡的兩切線PE、PF，E、F為切點，M為EF的中點．求證：PM⊥x軸；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，直線EF是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，設點C的坐標為（x，y）（x≠0，y≠0），
則，
∵，
∴x•（-x）+y•4=0，即．
∴所求的軌跡T是除去頂點的拋物線（3分）
（Ⅱ）對函數求導得，．
設切點坐標為，則過該切點的切線的斜率是，
該切線方程是．
又設點P的坐標為（t，2t-5），
∵切線過點P，
∴有，
化簡，得x₀²-2tx₀+8t-20=0．（6分）
設A、B兩點的坐標分別為、，
則x₁、x₂為方程x²-2tx+8t-20=0的兩根，x₁+x₂=2t，?x₁x₂=8t-20．
∴
因此，當t=0時，直線PM與y軸重合，當t≠0時，直線PM與y軸平行（9分）
（Ⅲ）∵=．
∴點M的坐標為．
又∵．
∴直線AB的方程為：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∵當x=4，y=5時，方程（*）恒成立，
∴對任意實數t，直線AB恒過定點，定點坐標為（4，5）．（14分）
分析：（Ⅰ）設點C的坐標為（x，y），再由共線向量定理求解．（Ⅱ）對函數求導得．設切點坐標，得切線方程．又設點P的坐標為（t，2t-5），由切線過點P，得E，F(xiàn)所在的直線方程，由韋達定理求得M坐標得證．（Ⅲ）先求得直線AB的方程為：，即t（x-4）+10-2y=0．（*）當x=4，y=5時，方程（*）恒成立，
點評：本題主要考查向量法求軌跡方程，導數法求切線方程以及直線過定點問題．