Question

（2013•泰安一模）已知橢圓C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，橢圓C₂以C₁的短軸為長軸，且與C₁有相同的離心率．
（I）求橢圓C₂的方程；
（II）設(shè)直線l與橢圓C₂相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且

QA

•

QB

=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓C₂的方程，利用橢圓C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，橢圓C₂以C₁的短軸為長軸，且與C₁有相同的離心率，即可確定橢圓的方程；
（II）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線l的斜率，表示出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，由韋達(dá)定理求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，確定M的坐標(biāo)，分類討論，利用

QA

•

QB

=4，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓C₁：

y2

16

+

x2

4

=1，橢圓C₂以C₁的短軸為長軸，且與C₁有相同的離心率
∴a=2，e=

3

2

∴c=

3

∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓C₂的方程為

x2

4

+y2=1；
（II）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）．
與橢圓C₂的方程聯(lián)立，整理得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
∴-2x₁=

16k2-4

1+4k2

，得x₁=

-8k2+2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，得到M的坐標(biāo)為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）
①當(dāng)k=0時，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，
∴

QA

=（-2，-y₀），

QB

=（2，-y₀）．
由

QA

•

QB

=4得y₀=±2

2

，∴l(xiāng)的方程為y=0；
②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)
令x=0，解得y₀=-

6k

1+4k2

∴

QA

=（-2，-y₀），

QB

=（x₁，y₁-y₀）．
∴

QA

•

QB

=（-2，-y₀）•（x₁，y₁-y₀）=-2•

-8k2+2

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）=4
∴7k²=2
∴k=±

14

7

，
∴l(xiāng)的方程為y=±

14

7

(x+2)．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．