Question

圓O所在平面為α，AB為直徑，C是圓周上一點，且PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，PA=

3

，AB=2，∠ABC=30°，設(shè)直線PC與平面ABC所成的角為θ、二面角P-BC-A的大小為φ，則θ、φ分別為（　　）

A．60°，30°

B．30°，30°

C．60°，60°

D．30°，60°

Answer 1

分析：由∠ACB是⊙O的直徑所對的圓周角，可得BC⊥AC．利用線面垂直的性質(zhì)定理及PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，可得PA⊥平面ABC．
因此∠PCB既是直線PC與平面ABC所成的角，又是二面角P-BC-A的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系求出即可．

解答：解：∵∠ACB是⊙O的直徑所對的圓周角，∴∠ACB=90°．∴BC⊥AC．
∵PA⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．
∴BC⊥AC，∠PCB是直線PC與平面ABC所成的角，即∠PCA=θ．
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，即∠PCA=φ，因此θ=φ．
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=2．
∴AC=1．
在Rt△ABC中，PA=

3

，∴tan∠PCA=

PA

AC

=

3

，
∴∠PCA=60°．
∴θ=φ=60°．
故選C．

點評：本題考查了面面、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角、二面角的平面角、圓的性質(zhì)、三垂線定理、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．