如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC=AC．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=DB．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．
【答案】分析：（1）先利用平面幾何知識(shí)與線面垂直的性質(zhì)證線線垂直，由線線垂直⇒線面垂直，再由線面垂直⇒線線垂直；
（2）通過作出二面角的平面角，證明符合定義，再在三角形中求解．
解答：解析：（1）連接OC，由3AD=BD知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)，
又∵AB為圓的直徑，∴AC⊥BC，
∵AC=BC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO為等邊三角形，∴CD⊥AO．
∵點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA?平面PAB，
∴PA⊥CD．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥PB，垂足為E，連接CE，
由（1）知CD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE?平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC為二面角C-PB-A的平面角．
由（1）可知CD=，PD=BD=3，
∴PB=3，則DE==，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，
∴cos∠DEC=，即二面角C-PB-A的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根據(jù)定義作二面角的平面角）--證角（符合定義）--求角（解三角形）；
法2、空間向量法，求得兩平面的法向量，再利用向量的數(shù)量積公式求夾角的余弦值．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A：如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于點(diǎn)D，BC=4cm，
（1）試判斷OD與AC的關(guān)系；
（2）求OD的長；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直徑．
B：（選修4-4）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=
3π4
．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)l與圓x2+y2=4相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•潮州二模）如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=
1
3
DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC=
3
AC．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=DB．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=數(shù)學(xué)公式DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC=數(shù)學(xué)公式AC．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=DB．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求二面角C-PB-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年新疆農(nóng)七師高級(jí)中學(xué)高二第二學(xué)期第二階段考試數(shù)學(xué)（文）試題 題型：解答題

(本題滿分10)如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，，交AC于點(diǎn)D,BC=4cm,
（1）求OD的長；
（2）若，求⊙O的直徑.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2015屆廣東肇慶高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且．點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD=DB．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

 

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