Question

5．設(shè)x∈R，定義[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$]=0，[-3.1415926]=-4等，則稱y=[x]為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù)．現(xiàn)令{x}=x-[x]，設(shè)函數(shù)f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1（0≤x≤100）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，函數(shù)g（x）=[x]•{x}-$\frac{x}{3}$-1（0≤x≤100）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則m+n的和為127．

Answer 1

分析 根據(jù)定義分別求出f（x）=0和g（x）=0，將函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為sin²[x]+sin²{x}-1=0和[x]•{x}=$\frac{x}{3}$+1，分別利用圖象討論兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：由f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0得sin²{x}=1-sin²[x]=cos²[x]．
則{x}=$\frac{π}{2}$+2kπ+[x]或{x}=-$\frac{π}{2}$+2kπ+[x]，
即{x}-[x]=$\frac{π}{2}$+2kπ或{x}-[x]=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
即x=$\frac{π}{2}$+2kπ或x=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
若x=$\frac{π}{2}$+2kπ，∵0≤x≤100，
∴當(dāng)k=0時(shí)，x=$\frac{π}{2}$，由x=$\frac{π}{2}$+2kπ≤100，解得k≤15.68，即k≤15，此時(shí)有15個(gè)零點(diǎn)，
若x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，∵0≤x≤100，
∴當(dāng)k=0時(shí)，x=-$\frac{π}{2}$不成立，由x=-$\frac{π}{2}$+2kπ≤100，解得k≤16.28，此時(shí)有15個(gè)零點(diǎn)，
綜上f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為15+15=30個(gè)．
∵{x}=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x＜1}\\{x-1，1≤x＜2}\\{x-2.2≤x＜3}\\{…}\\{x-99，99≤x＜100}\\{x-100，x=100}\end{array}\right.$，
∴[x]•{x}=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤x＜1\\;}\\{x-1，1≤x＜1}\\{2（x-2），2≤x＜3}\\{…}\\{99（x-99），99≤x＜100}\\{100（x-100），x=100}\end{array}\right.$，由g（x）=0得[x]•{x}=$\frac{x}{3}$+1，分別作出函數(shù)h（x）=[x]{x}和y=$\frac{x}{3}$+1的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)0≤x＜1和1≤x＜2時(shí)，函數(shù)h（x）=[x]{x}和y=$\frac{x}{3}$+1沒有交點(diǎn)，
但2≤x＜3時(shí)，函數(shù)h（x）=[x]{x}和y=$\frac{x}{3}$+1在每一個(gè)區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn)，
∵0≤x＜100，
∴g（x）=[x]•{x}-$\frac{x}{3}$-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為100-2-1=97個(gè)．
故m=30，n=97．
m+n=127．
故答案為：127．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的新定義題，利用定義作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．