Question

已知函數(shù)，．

（1）若，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)，若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

（1）函數(shù)不存在極值；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（0，+）；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為與；

單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為（0，+）.

【解析】

試題分析：

（1）利用求極值的方法，先求導(dǎo)，再判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，然后判斷是否存在極值；

（2）本命題等價(jià)于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設(shè)F（x）=f（x）-g（x），

F（x）min=F（1）=0，從而求得a的取值范圍．

（3）求含有參數(shù)的f（x）的單調(diào)區(qū)間，需要分類討論；

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，+?）.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.013.png">， 1分

所以在（0，+）上單調(diào)遞增， 2分

所以函數(shù)不存在極值. 3分

（2）由存在一個(gè)，使得成立，

等價(jià)于，即成立 4分

令，等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，”. 5分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.021.png">，且當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增， 7分

故，因此. 8分

（3）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.027.png">．

9分

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.029.png">在（0，+?）上恒成立，所以在（0，+）上單調(diào)遞減. 10分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，方程與方程有相同的實(shí)根.

①當(dāng)時(shí)，?>0，可得，，且 11分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.037.png">時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.040.png">時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021506034134554515/SYS201502150603542054571184_DA/SYS201502150603542054571184_DA.042.png">時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增； 12分

②當(dāng)時(shí)，，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+）上單調(diào)遞增.

13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（0，+）；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為與；

單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為（0，+）. 14分

考點(diǎn)：1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；２．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．