Question

如圖，底面為正方形的四棱錐S-ABCD 中，P為側(cè)棱SD上的點且SD⊥平面PAC，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

2

倍．
（1）求二面角P-AC-D的大�。�
（2）在側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用二面角的定義作出二面角的平面角，知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角，或用向量法；
（2）利用線面平行的性質(zhì)解決，或用向量法．

解答： 解法一：
（1）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
設(shè)正方形邊長a，則SD=

2

a．
又OD=

2

2

a，所以∠SOD=60°，
連OP，知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，
且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角．
由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，
即二面角P-AC-D的大小為30⁰．
（2）在棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC
由（1）可得PD=

2

4

a，故可在SP上取一點N，使PN=PD，過N作PC的平行線與SC的交點即為E．連BN．
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．
解析二（1）連BD，設(shè)AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．
以O(shè)為坐標(biāo)原點，

.

OB

，

.

OC

，

.

OS

分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立坐標(biāo)系O-xyz如圖．
…1分
設(shè)底面邊長為a，則高SO=

6

2

a．
于是 S(0，0，

6

2

a)，D(-

2

2

a，0，0)，C(0，

2

2

a，0)w，B(

2

2

a，0，0)

.

OC

=(0，

2

2

a，0)

.

SD

=(-

2

2

a，0，-

6

2

a)…3分
由題設(shè)知，平面PAC的一個法向量

.

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，平面DAC的一個法向量

.

OS

=(0，0，

6

2

a)，
設(shè)所求二面角為θ，則cosθ=

. OS • . DS

| . OS || . DS |

=

3

2

，θ∈[0，π]
∴θ=

π

6

故所求二面角的大小為

π

6

…7分
（2）在棱SC上存在一點E使BE∥平面PAC．
由（1）知

.

DS

是平面PAC的一個法向量，
且

.

DS

=(

2

2

a，0，

6

2

a)，

.

CS

=(0，-

2

2

a，

6

2

a)，

.

BC

=(-

2

2

a，

2

2

a，0)
設(shè) 

.

CE

=t

.

CS

，則  

.

BE

=

.

BC

+

.

CE

=

.

BC

+t

.

CS

=(-

2

2

a，

2

2

a(1-t)，

6

2

at)
而 

.

BE

•

.

DS

=0?t=

1

3

即當(dāng)SE：EC=2：1時，

.

BE

⊥

.

DS

而BE不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC…12分．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關(guān)系的判定和二面角的求法，涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強(qiáng)．