Question

已知等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1，記集合A={x|x=a_n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列{c_n}，則數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)和S₅₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得b_n=2^n-1．?dāng)?shù)列{a_n}的前50項(xiàng)所構(gòu)成的集合為{1，4，7，10，…，148}，數(shù)列{b_n}的前8項(xiàng)構(gòu)成的集合為{1，2，4，8，16，32，64，128}，數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)應(yīng)包含數(shù)列{a_n}的前46項(xiàng)和數(shù)列{b_n}中的2，8，32，128這4項(xiàng)．由此能求出S₅₀．

解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，則q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1．
根據(jù)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的增長速度，
數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)至多在數(shù)列{a_n}中選50項(xiàng)，
數(shù)列{a_n}的前50項(xiàng)所構(gòu)成的集合為{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，
數(shù)列{b_n}的前8項(xiàng)構(gòu)成的集合為{1，2，4，8，16，32，64，128}，
其中1，4，16，64是等差數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，2，8，32，128不是等差數(shù)列中的項(xiàng)，
a₄₆=136＞128，
∴數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)應(yīng)包含數(shù)列{a_n}的前46項(xiàng)和數(shù)列{b_n}中的2，8，32，128這4項(xiàng)．
∴S₅₀=

46(1+136)

2

+2+8+32+128=3321．
故答案為：3321．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前50項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．