和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同,在空間中,空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0.
設(shè)F1、F2為空間中的兩個(gè)定點(diǎn),|F1F2|=2c>0,我們將曲面Γ定義為滿足|PF1|+|PF2|=2a(a>c)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.
(1)試建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,求曲面Γ的方程;
(2)指出和證明曲面Γ的對(duì)稱性,并畫出曲面Γ的直觀圖.
【答案】分析:(1)以直線F1F2為x軸,線段F1F2的垂直平分線為x軸,以與xoy平面垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y,z),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,以a、c為參數(shù)建立關(guān)于x、y、z的等式,再移項(xiàng)、平方,化簡(jiǎn)整理得二次方程為,即為所求曲面Γ的方程;
(2)根據(jù)空間關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面對(duì)稱的公式,分別對(duì)(1)求出的方程加以驗(yàn)證,可得曲面Γ是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、關(guān)于三條坐標(biāo)軸對(duì)稱,也關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱的圖形.因此不難作出它的直觀圖,如圖所示.
解答:解:(1)以兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以F1,F(xiàn)2所在的直線為y軸,以線段F1F2的垂直平分線為x軸,
以與xoy平面垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示
則F1(0,c,0),F(xiàn)2(0,-c,0),設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y,z),可得
|F1F2|=2c>0,,

移項(xiàng)得
兩邊平方,得∴
兩邊平方,整理得
,得.①
因此,可得曲面Γ的方程為
(2)對(duì)稱性:
由于點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)(-x,-y,-z)也滿足方程①,
說明曲面Γ關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱;                                                   
由于點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(x,-y,-z)也滿足方程①,
說明曲面Γ關(guān)于x軸對(duì)稱;同理,曲面Γ關(guān)于y軸對(duì)稱;關(guān)于z軸對(duì)稱.
由于點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)(x,y,-z)也滿足方程①,
說明曲面Γ關(guān)于xOy平面對(duì)稱;同理,曲面Γ關(guān)于xOz平面對(duì)稱;關(guān)于yOz平面對(duì)稱.
由以上的討論,可得曲面Γ的直觀圖如右圖所示.
點(diǎn)評(píng):本題給出空間滿足到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn),求該點(diǎn)的軌跡.著重考查了橢圓的定義、軌跡方程求法和曲線與方程的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閘北區(qū)二模)和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同,在空間中,空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0.
設(shè)F1、F2為空間中的兩個(gè)定點(diǎn),|F1F2|=2c>0,我們將曲面Γ定義為滿足|PF1|+|PF2|=2a(a>c)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.
(1)試建立一個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,求曲面Γ的方程;
(2)指出和證明曲面Γ的對(duì)稱性,并畫出曲面Γ的直觀圖.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•閘北區(qū)二模)和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同,在空間中,空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.一般來說,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0.
(Ⅰ)在直角坐標(biāo)系O-xyz中,求到定點(diǎn)M0(0,2,-1)的距離為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡(球面)方程;
(Ⅱ)如圖,設(shè)空間有一定點(diǎn)F到一定平面α的距離為常數(shù)p>0,即|FM|=2,定義曲面C為到定點(diǎn)F與到定平面α的距離相等(|PF|=|PN|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,求曲面C的方程;  
(Ⅲ)請(qǐng)類比平面解析幾何中對(duì)二次曲線的研究,討論曲面C的幾何性質(zhì).并在圖中通過畫出曲面C與各坐標(biāo)平面的交線(如果存在)或與坐標(biāo)平面平行的平面的交線(如果必要)表示曲面C的大致圖形.畫交線時(shí),請(qǐng)用虛線表示被曲面C自身遮擋部分.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同,在空間中,空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.一般來說,在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0.
(Ⅰ)在直角坐標(biāo)系O-xyz中,求到定點(diǎn)M(0,2,-1)的距離為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡(球面)方程;
(Ⅱ)如圖,設(shè)空間有一定點(diǎn)F到一定平面α的距離為常數(shù)p>0,即|FM|=2,定義曲面C為到定點(diǎn)F與到定平面α的距離相等(|PF|=|PN|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz,求曲面C的方程;  
(Ⅲ)請(qǐng)類比平面解析幾何中對(duì)二次曲線的研究,討論曲面C的幾何性質(zhì).并在圖中通過畫出曲面C與各坐標(biāo)平面的交線(如果存在)或與坐標(biāo)平面平行的平面的交線(如果必要)表示曲面C的大致圖形.畫交線時(shí),請(qǐng)用虛線表示被曲面C自身遮擋部分.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案