Question

（2009•閘北區(qū)二模）和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．一般來(lái)說(shuō)，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，空間曲面的方程是一個(gè)三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系O-xyz中，求到定點(diǎn)M₀（0，2，-1）的距離為3的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（球面）方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)空間有一定點(diǎn)F到一定平面α的距離為常數(shù)p＞0，即|FM|=2，定義曲面C為到定點(diǎn)F與到定平面α的距離相等（|PF|=|PN|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz，求曲面C的方程；  
（Ⅲ）請(qǐng)類比平面解析幾何中對(duì)二次曲線的研究，討論曲面C的幾何性質(zhì)．并在圖中通過(guò)畫(huà)出曲面C與各坐標(biāo)平面的交線（如果存在）或與坐標(biāo)平面平行的平面的交線（如果必要）表示曲面C的大致圖形．畫(huà)交線時(shí)，請(qǐng)用虛線表示被曲面C自身遮擋部分．

Answer 1

分析：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM₀|=3，根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式建立等式關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z），則|PF|=|PN|，根據(jù)根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式建立等式關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到曲面C的方程；
（III）先研究曲面C的對(duì)稱性，范圍和頂點(diǎn)等性質(zhì)，然后根據(jù)曲面的性質(zhì)畫(huà)出圖形即可．

解答：解：（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M₀為原點(diǎn)，以3為半徑的球面
并設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，z），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PM₀|=3．
則球面的方程為x²+（y-2）²+（z+1）²=9．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y，z），則|PF|=|PN|
所以

x2+y2+(z- p 2 )2

=|z+

p

2

|
整理得曲面C的方程：x²+y²=2pz      （*）
若坐標(biāo)系原點(diǎn)建在平面α上的點(diǎn)M處，可得曲面C的方程：x2+y2=2p(z-

p

2

)同樣得分．
（Ⅲ）（1）對(duì)稱性：由于P（x，y，z）點(diǎn)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)（x，-y，z）、關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)（-x，y，z）均滿足方程（*），所以曲面C關(guān)于xOz平面與yOz平面對(duì)稱．
又由于P（x，y，z）點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)（-x，-y，z）滿足方程（*），所以曲面C關(guān)于z軸對(duì)稱．
（2）范圍：由于x²+y²≥0，所以，z≥0，即曲面C在xOy平面上方．
（3）頂點(diǎn)：令z=0，得x=y=0，即坐標(biāo)原點(diǎn)在曲面C上，O點(diǎn)是曲面C的頂點(diǎn)．  

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間兩點(diǎn)的距離公式，以及空間點(diǎn)的軌跡問(wèn)題和研究曲面性質(zhì)畫(huà)圖，屬于中檔題．