Question

【題目】某市在精準(zhǔn)扶貧和生態(tài)文明建設(shè)的專項(xiàng)工作中，為改善農(nóng)村生態(tài)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，開展農(nóng)村生活用水排污管道“村村通”.已知排污管道外徑為1米，當(dāng)兩條管道并行經(jīng)過一塊農(nóng)田時(shí)，如圖，要求兩根管道最近距離不小于0.25米，埋沒的最小覆土厚度（路面至管頂）不低于0.5米.埋設(shè)管道前先挖掘一條橫截面為等腰梯形的溝渠，且管道所在的兩圓分別與兩腰相切.設(shè).

（1）為了減少農(nóng)田的損毀，則當(dāng)為何值時(shí)，挖掘的土方量最少？

（2）水管用吊車放入渠底前需了解吊繩的長度，在（1）的條件下計(jì)算長度.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，挖掘的土方量最少（2）長度約為1米

【解析】

(1) 顯然取最小覆土厚度等于0.5米，兩根管道最近距離等于0.25米時(shí)梯形面積最小, 設(shè)圓與底切于點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作，垂足為,然后將和用表示后,求出面積關(guān)于的表達(dá)式,然后利用基本不等式求出面積取最小值時(shí)的,并且此時(shí)滿足,故即為所求.

(2)在直角三角形求出后,在三角形中用余弦定理可求得.

（1）根據(jù)題意等腰梯形面積最小時(shí)，挖掘土方量最少，顯然取最小覆土厚度等于0.5米，兩根管道最近距離等于0.25米時(shí)梯形面積最小.設(shè)圓與底切于點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作，垂足為.如圖:

因?yàn)?/span>，所以，

直角三角形和直角三角形中，米，米，

所以，

所以，

所以

,

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí),,且,符合題意.

所以時(shí)，挖掘的土方量最少.

（2）由（1）知，，在直角三角形中，

米，

在三角形中，，米，由余弦定理得；

，所以長度約為1米.