Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）已知k的取值范圍為[，+∞），則是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即a（-x+1）²+b（-x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=-2a，∴f（x）=ax²-2ax，∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程ax²-（2a+1）x=0有兩相等實數(shù)根，∴△=（2a+1）²-4a×0=0，
∴a=，即有f（x）=-x²+x…（5分）
（2）∵f（x）=-（x-1）²+≤，∴[km，kn]⊆（-∞，]，∴kn≤，又k≥，∴n≤≤，
又[m，n]⊆（-∞，1]，f（x）在[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)，∴即
即m，n為方程-x²+x=kx的兩根，解得x₁=0，x₂=2-2k．
∵m＜n且k≥．
故當≤k＜1時，[m，n]=[0，2-2k]； 當k＞1時，[m，n]=[2-2k，0]； 當k=1時，[m，n]不存在…（12分）
分析：（I）根據(jù)f（x+1）為偶函數(shù)，可得f（-x+1）=f（x+1），從而b=-2a，f（x）=ax²-2ax，利用函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，可得二次方程ax²-（2a+1）x=0有兩相等實數(shù)根，從而可求f（x）的解析式；
（II）先確定f（x）在[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)，從而，進而可得m，n為方程-x²+x=kx的兩根，結(jié)合m＜n且k≥，可得結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的定義域與值域，正確運用函數(shù)的性質(zhì)是關鍵．