已知三棱錐P—ABC中PB⊥底面ABC，，PB=BC=CA=a，E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且3PF=FA．

(1)求證：平面PAC⊥PBC；

(2)求平面BEF與底面ABC所成角(用一個(gè)反三角函數(shù)值表示)．

答案：
解析：

(1)證明：∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，又∠BCA=90°

∴AC⊥平面PBC

又AC平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC

(2)解：設(shè)FE的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于M，連MB，

則MB為平面BEF與平面ABC的交線

在平面PCA中，由已知E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PA的四等分點(diǎn)，

取BC的中點(diǎn)H，則EH//PB，　 ∴EH⊥底面ABC

過H作HO⊥MB于O，由三垂線定理，EO⊥MB

則∠EOH為平面BEF與底面ABC所成二面角的平面角

在，在

即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為

若利用面積射影法，指出△HDB是△EFB在底面ABC上的射影，并計(jì)算出其面積

，　　　　計(jì)算出

即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱錐P-ABC所成上、下兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D為AB中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求證：DM∥平面PAC；
（II）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱錐M-BCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正視圖為Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯視圖也為直角三角形，另一直角邊長(zhǎng)為2
2
．
（Ⅰ）畫出側(cè)視圖并求側(cè)視圖的面積；
（Ⅱ）證明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直線PC與底面ABC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）已知三棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)都是2，點(diǎn)D是棱AP上不同于P的點(diǎn)．
（1）試用反證法證明直線BD與直線CP是異面直線．
（2）求三棱錐P-ABC的體積VP-ABC．

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