Question

已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)（1，0）的距離比到直線x=-2的距離少1．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β=

π

3

時(shí)，證明AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)M（x，y），則

(x-1)2+y2

+1=x+2，由此能求出動點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，將y=kx+b與y²=4x，得ky²-4y+4b=0，由韋達(dá)定理知y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，由此能推導(dǎo)出直線AB恒過定點(diǎn)（-4，

4 3

3

）．

解答： （1）解：設(shè)M（x，y），
∵動點(diǎn)M到定點(diǎn)（1，0）的距離比到直線x=-2的距離少1，
∴

(x-1)2+y2

+1=x+2，
解得動點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）證明：如圖，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
將y=kx+b與y²=4x聯(lián)立消去x，得ky²-4y+4b=0，
由韋達(dá)定理知y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，①
∵α+β=

π

3

，∴tan

π

3

=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-64

，
將①式代入上式整理化簡可得：tan

π

3

=

4

b-4k

，
所以b=

4

3

+4k=

4 3

3

+4k，
此時(shí)，直線AB的方程可表示為y=kx+

4 3

3

+4k，
即k（x+4）-（y-

4 3

3

）=0，
所以直線AB恒過定點(diǎn)（-4，

4 3

3

）．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．