Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A′，連接EF，A′B．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF

則A'D⊥A'E，A'D⊥A'F

又A'E∩A'F=A'

∴A'D⊥平面A'EF

而EF平面A'EF，∴A'D⊥EF

（2）方法一：連接BD交EF于點G，連接A'G

∵在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，

∴BE=BF，DE=DF，

∴點G為EF的中點，

且BD⊥EF

∵正方形ABCD的邊長為2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF

∴∠A'GD為二面角A'﹣EF﹣D的平面角

由（1）可得A'D⊥A'G，

∴△A'DG為直角三角形

∵正方形ABCD的邊長為2，

∴ ， ，

∴ ， ，

又A'D=2

∴

∴

∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值為

方法二：∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點，

∴BE=BF=A'E=A'F=1，

∴

∴A'E2+A'F2=EF2，∴A'E⊥A'F

由（1）得A'D⊥平面A'EF，

∴分別以A'E，A'F，A'D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系A'﹣xyz，

則A'（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），D（0，0，2）

∴ ， ，

設平面DEF的一個法向量為 ，則由 ，

可取

又平面A'EF的一個法向量可取

∴

∴二面角A'﹣EF﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）根據平面圖形折疊后的不變量可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，然后利用線面垂直的判定得到線面垂直，從而得到線線垂直；（2）由題意可得BE=BF，DE=DF，連結BD交EF于點G，連接A'G，則可證明∠A'GD為二面角A'﹣EF﹣D的平面角，然后利用解直角三角形即可得到答案．
【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行．