已知直線l：與橢圓C：（a>1）交于P，Q兩點(diǎn)。
（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x0，y0），求證：；
（2）橢圓C的右頂點(diǎn)為A，且A在以PQ為直徑的圓上，求△OPQ的面積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。
解：（1）設(shè)直線l與橢圓C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）
將代入x2+a2y2-a2=0，
整理可得
由韋達(dá)定理得
∵M(jìn)（x0，y0）為PQ中點(diǎn)，
∴
故。
（2）依題意
得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0
又
∴
整理可得5x1·x2-（2+a）（x1+x2）+a2+3=0， ②
將①代入②得

∵a>1，則
∴
故所求橢圓方程為
聯(lián)立橢圓與直線方程得
∴
原點(diǎn)到直線的距離為
∴。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安慶二模）已知直線l：x+y+8=0，圓O：x2+y2=36（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
3
2
，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點(diǎn)（3，0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)設(shè)
OS
=
OA
+
OB
（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對(duì)角線長(zhǎng)相等？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為2
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)（2，0）的直線l的與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)∠AOB為銳角時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年廣東地區(qū)數(shù)學(xué)科全國(guó)各地模擬試題直線與圓錐曲線大題集 題型：044

已知直線l：與橢圓C：交于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A．

(Ⅰ)設(shè)PQ中點(diǎn)M(x0，y0)，求證：；

(Ⅱ)求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆甘肅天水一中高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C的方程為，其離心率為，經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l：與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍．

 

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