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已知橢圓C的方程為,其離心率為,經過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設直線l:與橢圓C交于A、B兩點,P為橢圓上的點,O為坐標原點,且滿足,求的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ). (Ⅱ) 。

【解析】

試題分析:(Ⅰ)由已知可得,

所以

解之得

故橢圓的方程為.        5分

(Ⅱ) 由消y化簡整理得:,

 ①  

點的坐標分別為,

         8分

由于點在橢圓上,所以

從而,化簡得,經檢驗滿足①式.

 

因為,得3≤4k2+3≤4,

≤1,故         12分

考點:橢圓的標準方程,平面向量的線性運算,直線與橢圓的位置關系。

點評:中檔題,確定圓錐曲線的標準方程,往往利用幾何特征,確定a,b,c,e得到關系。曲線關系問題,往往通過聯立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題利用韋達定理,簡化了計算過程。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a≥2b>0)

(1)求橢圓C的離心率的取值范圍;
(2)若橢圓C與橢圓2x2+5y2=50有相同的焦點,且過點M(4,1),求橢圓C的標準方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x2
a2
y2
b2
=1
(a>b>0),稱圓心在坐標原點O,半徑為
a2+b2
的圓為橢圓C的“伴隨圓”,橢圓C的短軸長為2,離心率為
6
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若直線l與橢圓C交于A,B兩點,與其“伴隨圓”交于C,D兩點,當|CD|=
13
 時,求△AOB面積的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•泉州模擬)已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
2
=1 (a>0)
,其焦點在x軸上,離心率e=
2
2

(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設動點P(x0,y0)滿足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M,N是橢圓C上的點,直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:x02+2
y
2
0
為定值.
(3)在(2)的條件下,問:是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•衡陽模擬)已知橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0),離心率e=
2
2
,上焦點到直線y=
a2
c
的距離為
2
2
,直線l與y軸交于一點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A,B且
AP
=t
PB

(1)求橢圓C的方程;
(2)若
OA
+t
OB
=4
OP
,求m的取值范圍•

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1,過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點,向量
m
=(-1,-4),若向量
OA
-
OB
m
-
OF
共線,則直線AB的方程是( 。

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