Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PQB；
（Ⅱ）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；
（Ⅲ）若PA∥平面MQB，平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明AD⊥BQ，AD⊥PQ，利用線面垂直的判定，可得AD⊥平面PQB．；
（Ⅱ）利用PA∥平面MQB，可得MN∥PA，利用比例關系，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）證明PQ⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，求出平面MQB的法向量=，取平面ABCD的法向量=（0，0，1），利用向量的夾角公式，即可求得二面角M-BQ-C的大小．
解答：（Ⅰ）證明：連接BD．
因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形．
又Q為AD中點，所以AD⊥BQ．
因為PA=PD，Q為AD的中點，所以AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面PQB．
（Ⅱ）解：當時，PA∥平面MQB．
下面證明：連接AC交BQ于N，連接MN．
因為AQ∥BC，所以．
因為PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，
所以MN∥PA，
所以，所以，即． （9分）
（Ⅲ）解：因為PQ⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，所以PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Q-xyz．
由PA=PD=AD=2，則有A（1，0，0），，．
設平面MQB的法向量為=（x，y，z），由，且，，可得
令z=1，得．
所以=為平面MQB的一個法向量．  
取平面ABCD的法向量=（0，0，1），
則=，故二面角M-BQ-C的大小為60°．
點評：本題考查線面垂直、線面平行，考查面面角，正確運用線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)，利用向量的夾角公式是關鍵．