Question

（14分）已知在數(shù)列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=是函數(shù)f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1   (n≥2)的一個極值點（Ⅰ）求數(shù)列｛a_n｝的通項公式

（Ⅱ）當時，令，數(shù)列前項的和為，求證：

（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列前項的和為，求同時滿足下列兩個條件的的值：（1） （2）對于任意的，均存在，當時，

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ） 

解析:

：（Ⅰ）由題意得：f′()=0  即3a_n-1t-3[(t+1)a_n-a_n+1]=0

故a_n+1-a_n=t(a_n-a_n-1)(n≥2)       則當t≠1時，數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項          t為公比的等比數(shù)列   ∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1  由a_n+1-a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)          =t+(t²-t)[1+t+t²+…+t^n-2] =t+(t²-t)· =tⁿ此式對t=1也成立∴a_n=tⁿ  (n∈N)

（Ⅱ）    

（Ⅲ）  （1）當 時，由Ⅱ得

        

          取，當時，

        （2）當時，，所以

           

       取因為，不存在，使得當時，

         （3）當時，，

           ，由（1）可知存在，當時

          ，故存在，當時，

        

           綜上，