Question

已知在數(shù)列{a_n}中，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1且4S_n=a_n•a_n+1+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_n•3^n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析：（1）將已知的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系中的n用n-1代替，仿寫(xiě)出一個(gè)新的等式，兩個(gè)式子相減，利用等差數(shù)列的定義得到一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)．
（2）由于數(shù)列的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）∵4S_n=a_n•a_n+1+1    ①
∴4S_n-1=a_n-1a_n+1②
②-①得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=4
∵a₁=1得a₂=3
∴奇數(shù)項(xiàng)成以4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)成以4為公差的等差數(shù)列
∴an=

1+4( n+1 2 -1)=2n-1(n為奇數(shù)) 3+4( n 2 -1)=2n-1(n為偶數(shù))

∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+..+（2n-1）×3^n-1
3T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ  
∴-2T_n=1×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
∴-2Tn=

2(1-3n)

1-3

-(2n-1)×3n-1
所以T_n=（n-1）3ⁿ+1

點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列的項(xiàng)與和的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般通過(guò)仿寫(xiě)構(gòu)造一個(gè)新等式，兩個(gè)式子相減得到項(xiàng)的遞推關(guān)系，再據(jù)遞推關(guān)系的特點(diǎn)選擇合適的求通項(xiàng)方法；求數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．