Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)
（1）求直線(xiàn)B₁C與DE所成角的余弦值；
（2）求證：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁D，則由A₁D∥B₁C⇒B₁C與DE所成角即為A₁D與DE所成角．在△A₁ED中用余弦定理求解；
（2）取B₁C的中點(diǎn)F，B₁D的中點(diǎn)G，連接BF，EG，GF．由CD⊥平面BCC₁B₁⇒DC⊥BF⇒BF⊥平面B₁CD，再由BF∥GE⇒GE⊥平面B₁CD．⇒平面EB₁D⊥B₁CD；
（3）連接EF．CD⊥B₁C，GF∥CD⇒GF⊥B₁C⇒EF⊥B₁C⇒∠EFG是二面角E-B₁C-D的平面角，再在△EFG中求解．
解答：解：（1）連接A₁D，則由A₁D∥B₁C知，B₁C與DE所成角即為A₁D與DE所成角．連接A₁E，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，可設(shè)其棱長(zhǎng)為a，則


∴
∴直線(xiàn)B₁C與DE所成角的余弦值是．（4分）

（2）取B₁C的中點(diǎn)F，B₁D的中點(diǎn)G，連接BF，EG，GF．
∵CD⊥平面BCC₁B₁，且BF?平面BCC₁B₁，
∴DC⊥BF．
又∵BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C，
∴BF⊥平面B₁CD
又∵GFCD，BECD，
∴GFBE，
∴四邊形BFGE是平行四邊形，
∴BF∥GE，
∴GE⊥平面B₁CD．
∵CE?平面EB₁D，
∴平面EB₁D⊥B₁CD．（8分）

（3）連接EF．
∵CD⊥B₁C，GF∥CD，
∴GF⊥B₁C．
又∵GE⊥平面B₁CD，
∴EF⊥B₁C，
∴∠EFG是二面角E-B₁C-D的平面角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則在△EFG中，GF=a，EF=a，
∴
∴二面角E-B₁C-D的余弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要通過(guò)異面直線(xiàn)所成的角和二面角來(lái)考查線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．