Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E為棱AB的中點．
求：
（1）D₁E與平面BC₁D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）延長EB至F使BF=1，連接C₁F，則C₁F∥D₁E，則C₁F與平面BC₁D所成角等于D₁E與平面BC₁D所成角θ，計算出F到BC₁D的距離h．則sinθ=

h

C1F

（2）取BC₁的中點H，連接DH，CH，則∠DHC為二面角D-BC₁-C的平面角，在△DHC中利用余弦定理計算即可．

解答：解：（1）如圖

延長EB至F使BF=1，連接C₁F，則C₁F∥D₁E，則C₁F與平面BC₁D所成角等于D₁E與平面BC₁D所成角，設(shè)為θ，
設(shè)F到BC₁D的距離為h．，則_VC1-DBF=V _F-C1BD∴

1

3

_{^S△DBF^×CC1=}

1

3

S△DBC1×h，S△DBF=

1

2

×BF×DA=1，
_S△DBC1=

3

4

×8=2

3

，∴h=

3

3

，sinθ=

h

C1F

═

h

D1E

=

3 3

3

=

3

9

（2）取BC₁的中點H，連接DH，CH，∵△DBC₁為正三角形，BCC₁為等腰直角三角形，∴DH⊥BC ₁，CH⊥BC ₁
∴∠DHC為二面角D-BC₁-C的平面角，設(shè)為β，在△DHC中，cosβ=

DH2+HC2- CD2

2DH×HC

=

6+2-4

2 6× 2

=

3

3

點評：本題考查線面角、二面角求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力