Question

已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且，定點(diǎn)A（-4，0）．
（1）求證：當(dāng)λ=1時(shí)，；
（2）若當(dāng)，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）通過λ=1時(shí)，，M、N兩點(diǎn)在橢圓上，求出，然后通過數(shù)量積證明．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，不妨設(shè)M（c，），N（c，），通過，求出a，b，得到橢圓的方程．
解答：解：（1）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）
則，，
當(dāng)λ=1時(shí)，∴-y₁=y₂，x₁+x₂=2c，
由M、N兩點(diǎn)在橢圓上，
∴，，
∴若
，則，（舍去），
所以，
∴，，
，
∴．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，不妨設(shè)M（c，），N（c，），
，
因?yàn)閍²=，，
∴，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故橢圓的方程為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，向量在幾何中的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查函數(shù)與方程的思想，計(jì)算能力．