Question

有下列六個命題：
（1）經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；
（2）經(jīng)過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；
（3）若a∥b，則在平面α內(nèi)到這兩條直線a、b的距離相等的點的集合可能是一條直線或一個平面或空集；
（4）P是異面直線a、b外一點，則過P有一個平面與a、b都平行；
（5）P是異面直線a、b外一點，則過P有一條直線與a、b都相交；
（6）a、b是異面直線，過a可以作且只可以作一個平面與b平行．
其中真命題的序號有：

（2）（3）（6）

．（將所有命題的序號都填上）

Answer 1

分析：考查六個命題，（1）經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；研究線線垂直問題，由線線垂直的條件判斷；
（2）經(jīng)過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；研究線面垂直問題，由線面垂直條件判斷；
（3）若a∥b，則在平面α內(nèi)到這兩條直線a、b的距離相等的點的集合可能是一條直線或一個平面或空集；研究面上的點到兩平行線距離相等的問題，可分情況舉例說明；
（4）P是異面直線a、b外一點，則過P有一個平面與a、b都平行；研究與兩異面直線都平行的問題，可舉例說明它不成立；
（5）P是異面直線a、b外一點，則過P有一條直線與a、b都相交；研究過一點的直線與兩異面直線都相交的問題，可舉例說明；
（6）a、b是異面直線，過a可以作且只可以作一個平面與b平行，研究兩條異面直線中的一條作一個平面與另一條直線平行的問題，可由線面平行的條件說明此命題是真命題

解答：解：（1）經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與該直線垂直；考察此命題，它是一個假命題，因為過直線外一點可以作一個平面與此直線垂直，此平面上的所有直線都與這個線垂直；
（2）經(jīng)過直線外一點有且只有一個平面與該直線垂直；考察此命題，它是一個真命題，因為過直線外一點只能作一個平面與此直線垂直；
（3）若a∥b，則在平面α內(nèi)到這兩條直線a、b的距離相等的點的集合可能是一條直線或一個平面或空集；考察此命題，它是一個真命題，當(dāng)此兩平行線到平面的距離相等且在同側(cè)時，此時平面上到兩直線距離相等的點的軌跡是一條直線，當(dāng)當(dāng)此兩平行線到平面的距離相等且在異側(cè)時，兩平行線確定的平面垂直于已知平面，此時此平面上的所有點到兩直線的距離都相等，故此時的軌跡是一個平面，當(dāng)兩平行線一在面內(nèi)一在面外且此兩直線確定的平面垂直于已知平面時，在已知平面上找不到一個點到此兩直線的距離相等，此時符合條件的點的集合是空集．
（4）P是異面直線a、b外一點，則過P有一個平面與a、b都平行；此命題不正確，當(dāng)過點P與兩條異面直線中的一條的平面與另一條直線平行時，此時找不到一個過P的平面與兩條異面直線都平行；
（5）P是異面直線a、b外一點，則過P有一條直線與a、b都相交；考察此命題，它是一個假命題，當(dāng)過點P與兩條異面直線中的一條的平面與另一條直線平行時，找不到過點P的直線與兩異面直線都相交；
（6）a、b是異面直線，過a可以作且只可以作一個平面與b平行．此命題是正確的，任取一條線上一點，過此點作一條直線與另一條直線平行，此時兩相交線確定的平面是唯一的，故命題成立
綜上知，命題（2）（3）（6）正確；
故答案為（2）（3）（6）

點評：本題考查命題真假的判斷，考查了空間中線線位置關(guān)系，線面位置關(guān)系，兩異面直線的關(guān)系等，正確解答本題，關(guān)鍵是要有著較好的空間立體感知能力，能對命題所涉及的問題找到恰當(dāng)?shù)哪Ｐ妥鲚d體進(jìn)行判斷．本題是訓(xùn)練空間感知能力的一道好題