在△ABC中，4sinB•sin2（
π
4
+
π
2
）+cos2B=1+
3
．
（1）求角B的大�。唬�2）若a=4，cosC=sinB，求△ABC的面積．
分析：（1）把已知等式左邊第一項(xiàng)的第二個(gè)因式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)也利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并后，得出sinB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由（1）求得的B的度數(shù)，得出sinB的值，進(jìn)而由cosC=sinB得到cosC的值，可得出C的度數(shù)，若B=
π
3
時(shí)，得到此時(shí)三角形為直角三角形，由30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出c與b的值，利用兩直角邊乘積的一半即可求出三角形ABC的面積；若B=
2π
3
時(shí)，此時(shí)三角形為等腰三角形，作出底邊AC上的高BD，根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出高BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理及三線合一性質(zhì)得到AC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（1）由4sinB•sin2（
π
4
+
π
2
）+cos2B=1+
3
得：
2sinB•[1-cos（
π
2
+B）]+1-2sin2B=1+
3
，
∴sinB=
1
2
，又∵B是△ABC的內(nèi)角，
∴B=
π
3
或B=
2π
3
；
（2）∵cosC=sinB，∴cosC=
3
2
，∴C=
π
6
，
若B=
π
3
時(shí)，則△ABC為直角三角形，又a=4，

∴c=
1
2
a=2，b=2
3
，
∴S△ABC=
1
2
bc=2
3
；
若B=
2π
3
時(shí)，則△ABC為等腰三角形，又a=4，
過(guò)B作BD⊥AC，垂足為D，
∴BD=asin30°=2，
∴CD=2
3
，即AC=2DC=4
3
，

∴S△ABC=
1
2
AC•BD=4
3
．
綜上所述：△ABC的面積為2
3
或4
3
．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)B的度數(shù)有兩解，可得三角形形狀有兩種，學(xué)生做題時(shí)要借助圖形來(lái)求解，注意不要漏解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，A，B，C是其三個(gè)內(nèi)角，設(shè)f(B)=4sinB•cos2(
π
4
-
B
2
)+cos2B．當(dāng)f（B）-m＜2恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是
（1，+∞）
（1，+∞）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有下列命題：
①在函數(shù)y=cos（x-
π
4
）cos（x+
π
4
）的圖象中，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π；
②函數(shù)y=
x+3
x-1
的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱；
③關(guān)于x的方程ax2-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a=-1；
④已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的序號(hào)是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，a，b，c依次是角A，B，C所對(duì)的邊，且4sinB•sin2(
π
4
+
B
2
)+cos2B=1+
3
．
（1）求角B的度數(shù)；
（2）若B為銳角，a=4，sinC=
1
2
sinB，求邊c的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在△ABC中，4sinB•sin2（數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式）+cos2B=1+數(shù)學(xué)公式．
（1）求角B的大��；（2）若a=4，cosC=sinB，求△ABC的面積．

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