Question

在△ABC中，a，b，c依次是角A，B，C所對的邊，且4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos2B=1+

3

．
（1）求角B的度數(shù)；
（2）若B為銳角，a=4，sinC=

1

2

sinB，求邊c的長．

Answer 1

分析：（1）由4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos2B=1+

3

利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡可得sinB=

3

2

，結(jié)合0°＜B＜180°可求
（2）若B為銳角，則B=60°，由a=4，sinC=

1

2

sinB結(jié)合正弦定理可得c=

1

2

b，在△ABC中，由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

可求c

解答：解：（1）∵4sinB•sin2(

π

4

+

B

2

)+cos2B=1+

3

可求c
∴sinB•2[1-cos(

π

2

+B)]+cos2B=1+

3

即2sinB+2sin2B+cos2B=1+

3

∴sinB=

3

2

0°＜B＜180°
B=60°或B=120°
（2）若B為銳角，則B=60°
∵a=4，sinC=

1

2

sinB
由正弦定理可得c=

1

2

b
在△ABC中，由余弦定理可得，cosB=

a2+c2-b2

2ac

1

2

=

16+c2-4 c2

8c

∴c=

2 13 -2

3

點評：本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用，正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角的基本公式