Question

如圖，在三棱錐中，，， ，，平面⊥平面.

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）求二面角的大��；

   （Ⅲ）若為線段中點，求點到平面的距離。   

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵平面⊥平面，為其交線，且

∴平面，又∵平面，∴            

（Ⅱ）取中點，連接，在平面內(nèi)

作于點，連接

∵且

∴為等腰，且

由平面⊥平面可知，平面

又，由三垂線定理得：

∴即為所求的二面角的平面角

∵在三角形中，，

∴，

又∵，

∴，

DE//BC， 故有，

∴在中，

∴則所求的二面角的大小為                       

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）知，在平面內(nèi)作于

∵平面，平面

∴平面，

則到平面的距離等于點到平面的距離

由（Ⅱ）知且，又

∴平面

又∵平面

∴平面平面，其交線為

∴平面

則為點到平面的距離 

∵在中，

∴，

∴點到平面的距離為

故點到平面的距離為

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一

（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）知，在平面內(nèi)作于

∵平面，平面

∴平面，則到平面的距離等于點到平面的距離

設(shè)點到平面的距離為

∵，而平面

由（Ⅰ）知，

∵

∴平面

∵平面，∴

∵，∴

∴

∵

∴

∴點到平面的距離為

故點到平面的距離為

解法三：取中點，中點，連接

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）∵分別為中點

∴且

由（Ⅰ）知平面，則兩兩垂直

以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系

由知

設(shè)平面的法向量為

∴，取，解得

又∵平面的法向量

∴

∴二面角的大小為

（Ⅲ）∵，∴

設(shè)所求距離為

則

∴點到平面的距離為。