Question

某商廈欲在春節(jié)期間對(duì)某新上市商品開展促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該商品的銷售量s萬(wàn)件與促銷費(fèi)用x萬(wàn)元滿足s=4-

3

x+2

．已知s萬(wàn)件該商品的進(jìn)價(jià)成本為20+3s萬(wàn)元，商品的銷售價(jià)格定為5+

30

s

元/件．
（1）將該商品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，商家的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．

解答： 解：（1）由題意知，y=（5+

30

s

）s-x-（20+3s）=2s+10-x
將s=4-

3

x+2

代入化簡(jiǎn)得：y=18-

6

x+2

-x；
（2）y=18-

6

x+2

-x=20-[

6

x+2

+（x+2]
∵

6

x+2

+（x+2）≥2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)

6

x+2

=x+2，即x=

6

-2時(shí)，取等號(hào)，
∴x=

6

-2時(shí)，商家的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為22-

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．