定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
x
3
）=
1
2
f（x），且當(dāng)0≤x1＜x2≤1時，f（x1）≤f（x2），則f（
1
2014
）的值為（　�。�
A、
1
256
B、
1
128
C、
1
64
D、
1
32
考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：由已知f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
x
3
）=
1
2
f（x），可以求出f（1）=1，及f（
1
3
）=f（
2
3
)=
1
2
，再反復(fù)利用f（
x
3
）=
1
2
f（x），得到f（
1
2187
）=f（
2
2187
）=
1
128
，最后利用當(dāng)0≤x1＜x2≤1時，f（x1）≤f（x2）得到f（
1
2014
）=
1
128
．（因為不能利用f（1）=1及f（
x
3
）=
1
2
f（x）直接求出f（
1
2014
），所以考慮利用兩邊夾的方法求f（
1
2014
）．）
解答： 解：由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，可得f（0）+f（1-0）=1，所以f（1）=1，
因為f（
x
3
）=
1
2
f（x），所以f(
1
3
)=
1
2
，f(
2
3
)=
1
2

且f（x）=2f（
x
3
）=22f（
x
32
）=23f（
x
33
）=…=2nf（
x
3n
），
所以f(
1
3
)=26f（
1
37
）=26f（
1
2187
），同理f（
2
3
）=26f(
2
37
)=26f（
2
2187
），
所以f（
1
2187
）=f（
2
2187
）=
1
128
，
又因為
1
2187
＜
1
2014
＜
2
2187
，由已知，所以f(
1
2187
)≤f(
1
2014
)≤f(
2
2187
)，
所以f(
1
2014
)=
1
128
．
故選B
點(diǎn)評：這道題考查了抽象函數(shù)，運(yùn)用了賦值法、迭代法、兩邊夾的性質(zhì)求解，對學(xué)生的邏輯推理能力有很高的要求，有一定難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A在第二象限，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之比為-
1
2
，則
cos2α-sin2α
sin2α+2cos2α
的值為（　�。�
A、-
1
2
B、
8
5
C、
5
6
D、-
1
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖的程序框圖，若M=
7
8
，則輸出的n=（　　）
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校推薦甲、乙、丙、丁4名同學(xué)參加A、B、C三所大學(xué)的自主招生考試．每名同學(xué)只推薦一所大學(xué)，每所大學(xué)至少推薦一名．則不推薦甲同學(xué)到A大學(xué)的推薦方案有（　�。�
A、24種B、48種
C、54種D、60種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)x∈[1，3]，f（x）=2-|x-2|，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�
A、f（sin
π
6
）＜f（cos
π
6
）
B、f（sin1）＞f（cos1）
C、f（cos
2π
3
）＜f（sin
2π
3
）
D、f（cos2）＞f（sin2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了調(diào)查我市在校中學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，從中隨機(jī)抽取了16名男同學(xué)和14名女同學(xué)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女同學(xué)中分別有12人和6人喜愛運(yùn)動，其余不喜愛．   
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：
喜愛運(yùn)動 不喜愛運(yùn)動 總計
男 16
女 14
總計 30
（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為性別與喜愛運(yùn)動有關(guān)？
（3）將以上統(tǒng)計結(jié)果中的頻率視作概率，從我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，若其中喜愛運(yùn)動的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和均值．參考數(shù)據(jù)：
P（K2≥k0） 0.40 0.25 0.10 0.010
k0 0.708 1.323 2.706 6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P（x0，y0）為橢圓
x2
4
+y=1內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)P的兩直線分別與橢圓交于A，C和B，D，若AB∥CD．
（Ⅰ）證明：直線AB的斜率為定值；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作AB的平行線，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)P平分線段EF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲、乙兩人玩一種猜拳游戲，游戲規(guī)則如下：每人只出一只手（有5個手指頭），每次出手指數(shù)為0，1，2，3，4，5是等可能的，猜拳一次只猜“單”與“雙”兩個結(jié)果．規(guī)定：兩人手指數(shù)之和為偶數(shù)則規(guī)定猜“雙”者獲勝，手指數(shù)之和為奇數(shù)視為猜“單”者獲勝，兩人都猜中與兩人都沒猜中視為平局，獲勝方得2分，負(fù)方得0分，平局各得1分，只要有人累計得分達(dá)到4分或者4分以上，則游戲結(jié)束．
（1）求甲、乙兩人猜拳一次，甲獲勝的概率；
（2）求游戲結(jié)果時，甲累計得分恰好為4分的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，銳角α和鈍角β的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn)，角α的終邊與射線y=x（x≥0）重合，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為
3
5
．
（1）求sin（β-α）；
（2）D為OB邊上的一點(diǎn)，且AD=
37
5
，求△AOD的面積．

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同步練習(xí)冊答案