Question

設(shè)拋物線y=x²過一定點(diǎn)A （-a，a²）（），P（x，y）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
（I）將表示為關(guān)于x的函數(shù)f（x），并求當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）有極小值；
（II）設(shè)（I）中使f（x）取極小值的正數(shù)x為x，求證：拋物線在點(diǎn)P（x，y）處的切線與直線AP垂直．

Answer 1

【答案】分析：（I）先寫出向量的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的解析式，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值點(diǎn)即可
（II）先利用斜率公式，計(jì)算直線AP的斜率（用a表示），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算拋物線在點(diǎn)P（x，y）處的切線斜率，最后將兩個(gè)斜率相乘結(jié)果為-1即得證
解答：解：（I）．
∴f'（x）=4x³+2（1-2a²）x+2a．令f'（x）=0得2x³+（1-2a²）x+a=0，即（x+a）（2x²-2ax+1）=0．
∵a＞，
∴此方程有三個(gè)根x₁=-a，x₂=，
①當(dāng)x＜-a時(shí)，f'（x）＜0；
②當(dāng)-a＜x＜時(shí)，f'（x）＞0；
③當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；
④當(dāng)x＞時(shí)，f'（x）＞0．
∴當(dāng)x=-a或x=時(shí)，f（x）有極小值
（II）由（I）知，x=，
則直線AP的斜率k₁=，
又拋物線y=x²在點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率k₂=2x=a+，∴k₁k₂==-1，
∴拋物線在點(diǎn)P（x，y）處的切線與直線AP垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，解題時(shí)需要有扎實(shí)的解含參數(shù)不等式的功底，還要有較強(qiáng)的計(jì)算能力