Question

【題目】函數(shù).

（Ⅰ）當曲線在點處的切線與直線垂直時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由，解得，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，等價于方程恰有兩個不相等的正實根，令，分兩種情況討論，不合題意；當時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，結(jié)合零點存在定理，列不等式求解即可.

（Ⅰ）由題意知，函數(shù)的定義域為.

，，解得.，

. 當時，，則恒成立，

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為.若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，即方程恰有兩個不相等的正實根，

也就是方程恰有兩個不相等的正實根.

令，

．

當時，＞0恒成立，函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴函數(shù)最多一個零點，不合題意，舍去.

當時，由得；由得.

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

所以的最小值是，即，

. ，，解得.

因為所以在內(nèi)有一個零點.

因為，所以

.

于是所以在內(nèi)有一個零點.

故實數(shù)a的取值范圍是.