已知橢圓的離心率為，為橢圓的左右焦點(diǎn)，；分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)(如圖) . 若四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)任意作一條直線，交拋物線于兩點(diǎn). 證明：以為直徑的所有圓是否過(guò)拋物線上一定點(diǎn).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解：(1)根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為,

由已知,,則，又,

，    ，所求的橢圓方程為.  ….…6分

(2) 根據(jù)題意知拋物線方程為: ，設(shè)滿(mǎn)足題意的點(diǎn)為，

設(shè)其中，因?yàn)?sub>是直徑，所以，

  ，

整理為：   …… ……（※）

同時(shí)，

整理為：  代入點(diǎn)得：

即有：,將其代入（※）式中整理為：

顯然時(shí)上式恒成立, 進(jìn)而算得，所以為定點(diǎn)，從而說(shuō)明滿(mǎn)足題意的存在為.   當(dāng)直線垂直于軸時(shí),易求得以為直徑的圓為，同樣可檢驗(yàn)其經(jīng)過(guò).                     ….…15分

方法二：（2）設(shè)設(shè)直線AB的方程為，與聯(lián)立消有,

，

以AB為直徑的圓的方程為，即

，代入，有

，

即，

令. …. …15分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線和橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對(duì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點(diǎn)是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　　）
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構(gòu)成的“眼形”結(jié)構(gòu)中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點(diǎn)M，與橢圓C相交于兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時(shí)直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準(zhǔn)線方程為x=±8，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30-7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上7：00-8：00之間，請(qǐng)你求出父親在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙（稱(chēng)為事件A）的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，已知橢圓的離心率為e，右準(zhǔn)線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AM交l于點(diǎn)P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過(guò)原點(diǎn)，求e．

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