Question

（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）
如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，,為DB的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：AE⊥BC；
（Ⅱ）線段BC上是否存在一點(diǎn)F使得PF與面DBC所成的角為，若存在，試確定點(diǎn)F的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析
（Ⅱ）F為BC的中點(diǎn)

證明：（I）取BC的中點(diǎn)O，連接EO,AO,
EO//DC所以EO⊥BC ………………………………………………………………….…1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135745823400.gif" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，所以BC⊥AO ……………………………………………3分
所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE  …………………………………………………………4分
（II）方法一：連接PE，因?yàn)槊鍮CD⊥面ABC，DC⊥BC
所以DC⊥面ABC，而EODC
所以EOPA，故四邊形APEO為矩形 …………………………………………7分
易證PE⊥面BCD,連接EF,則PFE為PF與面DBC所成的角，即PFE=…9分
在Rt△ PEF中，因?yàn)镻E =AO=BC,故EF=BC,
因?yàn)锽C=DC,所以EF=DC,又E為BD的中點(diǎn)，
所以F為BC的中點(diǎn)……………………………………………………………………..12分
方法二：以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，
OE所在的直線為z軸建立空間坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=2，則,設(shè)，
則，………………………………………………………………………7分
而平面BCD的一個法向量，則由
，………………………………………………………………………..9分
解得y＝0，故F為BC的中點(diǎn)�！�…………………………………………………..12