Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

2

，

2

a 2 n

=

1

a 2 n+1

+

1

a 2 n-1

（n≥2），則a₆=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由題設(shè)知

1

an+12

-

1

an2

=

1

an2

-

1

an-12

，可知數(shù)列{

1

an2

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差d=

1

a22

-

1

a12

=4-1=3，故

1

an2

=3n-2，繼而求出a₆，

解答： 解：∵a₁=1，a₂=

1

2

，

2

a 2 n

=

1

a 2 n+1

+

1

a 2 n-1

（n≥2），
∴

1

an+12

-

1

an2

=

1

an2

-

1

an-12

，
∴數(shù)列{

1

an2

}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差d=

1

a22

-

1

a12

=4-1=3，
∴

1

an2

=1+3（n-1）=3n-2，
∴

1

a62

=16，
∵{a_n}正項(xiàng)數(shù)列，
∴a₆=

1

4

，
故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用．