Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直角坐標(biāo)系中動(dòng)點(diǎn)，參數(shù)，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)、軸正半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)在曲線(xiàn)： 上.

（1）求點(diǎn)的軌跡的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡和曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），消去參數(shù)α，得能求出點(diǎn)P的軌跡E的方程；由， ，能求出曲線(xiàn)C的方程；

（2）由已知得直線(xiàn)與圓相交，圓心（1，0）到直線(xiàn)ax﹣y+a=0，（a≠0）的距離小于半徑1，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有

消去參數(shù)，可得，為點(diǎn)的軌跡的方程；

由曲線(xiàn)： ，得，且，

由， 故曲線(xiàn)的方程為： ；

（2）曲線(xiàn)的方程為： ，即

表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心， 為半徑的圓

由軌跡和曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得．