Question

如圖5，三角形 A BC中，AC=BC=

2

2

，A B ED是邊長(zhǎng)為1的正方形，B E⊥底面 A BC，若G、F分別是 EC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：GF∥平面 A BC；
（2）求三棱錐 B-AEC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)GM、FN、MN，通過(guò)證明MNFG為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明GF∥平面ABC．
方法2：連接EA，證明GF∥AC，利用直線與平面平行的判定定理證明GF∥平面ABC．
（2）利用BE⊥底面ABC，求出高BE，利用V_B-AEC=V_E-ABC 求出幾何體的體積．

解答： 解（1）：取BC的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)GM、FN、MN   …（1分）
∵G、F分別是EC和BD的中點(diǎn)
∴GM∥BE，且GM=

1

2

BE，
NF∥DA，且NF=

1

2

DA…（3分）
又∵ADEB為正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF   …（4分）
∴MNFG為平行四邊形…（5分）
∴GF∥MN，…（6分）
又 MN?平面ABC，GF?平面ABC
∴GF∥平面ABC…（7分）
方法2：連接EA               …（1分）
∵ADEB為正方形，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，
∴EA交BD于點(diǎn)F       …（3分）
∴AF=FE（或者F為AE的中點(diǎn)） …（4分）
∵EG=GC（或者G為CE的中點(diǎn)），
∴GF∥AC，…（5分）
又 AC?平面ABC，GF?平面ABC，
∴GF∥平面ABC   …（7分）
（2）BE⊥底面ABC
∴BE是三棱錐E-ABC的高且BE=1   …（9分）
∴V_B-AEC=V_E-ABC …（12分）
=

1

3

S△ABC•BE=

1

3

(

1

2

×

2

2

×

2

2

)×1=

1

12

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，棱錐的條件的求法，考查空間想象能力以及邏輯推理能力、計(jì)算能力．