已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差數(shù)列的充要條件.
{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=-1
【解析】主要考查充要條件的概念及充要條件的判定方法。
解 當(dāng){an}是等差數(shù)列時(shí),∵Sn=(n+1)2+c,
∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=n2+c,
∴an=Sn-Sn-1=2n+1,
∴an+1-an=2為常數(shù).
又a1=S1=4+c,
∴a2-a1=5-(4+c)=1-c,
∵{an}是等差數(shù)列,∴a2-a1=2,∴1-c=2.
∴c=-1,反之,當(dāng)c=-1時(shí),Sn=n2+2n,
可得an=2n+1 (n≥1)為等差數(shù)列,
∴{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=-1.
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