Question

設(shè)x₁，x₂（x₁≠x₂）使函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)
（1）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；  
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函數(shù)g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求證：|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)數(shù)f′（x）是關(guān)于x的二次函數(shù)．根據(jù)x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，得到x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，建立方程組，并由這個(gè)方程組消去x₁，x₂得到關(guān)于a、b的關(guān)系式，通過這個(gè)關(guān)系式可得b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，從而得到b的最大值；
（2）用（1）中根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，結(jié)合x₂=a，解得x 1=-

1

3

，且2b-3a²+a．由此代入g（x）=f（x）'-a（x-
x₁），得到g（x）的表達(dá)式是一個(gè)二次函數(shù)，它的圖象是開口向上的拋物線，它的兩個(gè)零點(diǎn)為-

1

3

和

3a2+a

3a

，且-

1

3

＜

3a2+a

3a

．因?yàn)閤₁＜x＜x₂，所以g（x）的定義域?yàn)椤剩?

1

3

，a）?（-

1

3

，

3a2+a

3a

），得到g（x）的值恒為負(fù)數(shù)．并且g（x）的最小值等于二次函數(shù)對(duì)稱軸處的取值：g（

a

2

）=-(

3

4

a3+a2+

a

3

)，從而證出原不等式恒成立．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得

x1+x2=- 2b 3a x1•x2 =- a 3

∵兩根x₁，x₂之積為-

a

3

＜0
∴兩根x₁，x₂之中一正一負(fù)，可得|x1|+|x2|=|x1-x2|=2 

2

平方，得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8
即：(-

2b

3a

)  2+

4a

3

=8
整理，得4b²=72a²-12a³，其中a＞0
∴b²=18a²-3a³
記F（a）=18a²-3a³，得F′（a）=36a-9a²=9a（4-a）
令F′（a）＞0，得0＜a＜4，F(xiàn)′（a）＜0，得a＞4，
∴F（a）在區(qū)間（0，4）上為增函數(shù)，在區(qū)間（4，+∞）上為減函數(shù)
可得F（a）在（0，+∞）上的最大值為F（4）=96
∴b的最大值為

96

=4

6

（2）由（1）的根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合x₂=a，得

x1+a=- 2b 3a x1•a  =- a 3

⇒

x1= - 1 3 2b=-3a2+a

∴f'（x）=3ax²+2bx-a²=3ax²+（-3a²+a）x-a²
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）=3ax²+（-3a²+a）x-a²-a（x+

1

3

）
=3ax²-3a²x-a²-

1

3

a=（x+

1

3

）（3ax-3a²-a）
g（x）的圖象是開口向上的拋物線，關(guān)于直線x=

a

2

對(duì)稱
它的兩個(gè)零點(diǎn)為-

1

3

和

3a2+a

3a

，且-

1

3

＜

3a2+a

3a

∵x₁＜x＜x₂即x∈（-

1

3

，a），a＜

3a2+a

3a

=a+

1

3

∴g（x）＜0且g（x）的最小值為g（

a

2

）=-(

3

4

a3+a2+

a

3

)
∴不等式|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．在解題過程中還用到了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和函數(shù)的值域等解題方法，是一道綜合性較強(qiáng)的題．