Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-

a

2

．
（1）求證：函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，求|x₁-x₂|的范圍．
（3）求證：函數f（x）的零點x₁，x₂至少有一個在區(qū)間（0，2）內．

Answer 1

分析：（1）由條件化簡函數的解析式，求出函數的判別式，由判別式大于0恒成立得到函數f（x）有兩個零點．
（2）設x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，
將|x₁-x₂|變形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由題意知，式子無最大值．
（3）分c＞0時和c≤0兩種情況，判斷函數值在區(qū)間端點處的函數值的符號，根據函數零點的判定定理
得出結論．

解答：解：（1）證明：∵f(1)=a+b+c=-

a

2

，∴3a+2b+2c=0，∴c=-

3

2

a-b．
∴f(x)=ax2+bx-

3

2

a-b，判別式△=b2-4a(-

3

2

a-b)=b2+6a2+4ab=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函數f（x）有兩個零點．
（2）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，則x₁，x₂是方程f（x）=0的兩根．
∴x1+x2=-

b

a

，x1x2=-

b

a

-

3

2

．
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4(- b a - 3 2 )

=

( b a +2)2+2

≥

2

．
故|x₁-x₂|的范圍是[

2

，+∞）．
（3）根據f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．
（i）當c＞0時，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴f(1)=-

a

2

＜0，故函數f（x）在區(qū)間（0，1）內有一個零點，
故在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點．
（ii）當c≤0時，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，∴函數f（x）在區(qū)間（1，2）內有一零點，
綜合（i）（ii），可知函數f（x）在區(qū)間（0，2）內至少有一個零點．

點評：本題考查函數的零點與方程根的關系，函數的零點就是函數f（x）=0的根；零點的判定方法是，函數在區(qū)間
端點的函數值異號，屬于中檔題．