Question

已知函數f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在定義域上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數的解析式進行化簡整理，進而根據x的范圍和正弦函數的單調性求得函數的最大和最小值．
（Ⅱ）問題轉化為f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，進而利用（1）中函數的最大值和最小值，推斷出m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)．
又∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．

（Ⅱ）∵|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2，x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2，
∴1＜m＜4，即m的取值范圍是（1，4）．

點評：本小題主要考查三角函數和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數的圖象和性質解題的能力．