Question

定義函數(shù)y=f（x），x∈D（D為定義域）圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為函數(shù)的y=f（x），x∈D的模．若模存在最大值，則稱之為函數(shù)y=f（x），x∈D的長距；若模存在最小值，則稱之為函數(shù)y=f（x），x∈D的短距．
（1）分別判斷函數(shù)f₁（x）=

1

x

與f₂（x）=

-x2-4x+5

是否存在長距與短距，若存在，請求出；
（2）求證：指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的短距小于1；
（3）對于任意x∈[1，2]是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）=

2x|x-a|

的短距不小于2且長距不大于4．若存在，請求出a的取值范圍；不存在，則說明理由？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,基本不等式

專題：新定義

分析：（1）通過基本不等式及代入求值解出即可，（2）通過和單位圓作比較得出不等式求出t（x₀）＜1；（3）假設(shè)存在，將a分類討論，解不等式求出并集即可．

解答： 解（1）設(shè)u(x)=

x2+ 1 x2

≥

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=±1取得等號(hào)）
∴f₁（x）短距為

2

，長距不存在．
設(shè)v(x)=

x2+(-x2-4x+5)

=

5-4x

，x∈[-5，1]
v（x）_min=v（1）=1v（x）_max=v（-5）=5f₂（x）短距為1，長距為5．  
（2）設(shè)t(x)=

x2+(ax)2

，t（0）=1，
∴y=a^x（a＞0，a≠1）的短距不大于1，

x2+(ax)2

=1
∴a^x=

1-x2

，y=a^x與單位圓存在兩個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)a＞1時(shí)，存在-1＜x₀＜0使得：ax0＜

1-x02

，
∴t（x₀）＜1，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，存在0＜x₀＜1使得ax0＜

1-x02

，
∴t（x₀）＜1
∴指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的短距小于1；
（3）設(shè)h(x)=

x2+2x|x-a|

，x∈[1，2]，
使得函數(shù)f(x)=

2x|x-a|

的短距不小于2且長距不大于4，
 即4≤x²+2x|x-a|≤16對于x∈[1，2]始終成立，
x²+2x|x-a|≥4對于x∈[1，2]始終成立：
當(dāng)a＞2時(shí)：a≥

1

2

(x+

4

x

)對于x∈[1，2]始終成立，
∴a≥

5

2

，
當(dāng)1≤a≤2時(shí)：取x=a即可知顯然不成立
當(dāng)a＜1時(shí)：a≤

1

2

(3x-

4

x

)對于x∈[1，2]始終成立，
∴a≤-

1

2

，
x²+2x|x-a|≤16對于x∈[1，2]始終成立，
即：

1

2

（3x-

16

x

）≤a≤

1

2

（x+

16

x

）對于x∈[1，2]始終成立：
∴-1≤a≤5；
綜上  a∈[-1，-

1

2

]∪[

5

2

，5]．

點(diǎn)評：本題新定義了長距和短距，屬于新定義問題，考察了函數(shù)最值及基本不等式的問題，滲透了分類討論思想，有一定的綜合性，是難度較大的題．