Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），△PF₁F₂內(nèi)一點(diǎn)G滿足3

PG

=

PF1

+

PF2

，其中

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若橢圓C短軸長(zhǎng)為2

6

，過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），求△F₁AB面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)3

PG

=

PF1

+

PF2

，可得G是△PF₁F₂的重心，利用三角形的重心坐標(biāo)公式，確定G與P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用∵為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，即可求得橢圓C的離心率；
（II）先求出橢圓方程為

x2

8

+

y2

6

=1，假設(shè)直線l：x=my+

2

，兩者聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可表示出三角形的面積，再借助于函數(shù)的單調(diào)性，即可求得△F₁AB面積的最大值．

解答：解：（I）∵

OG

=(

1

9

a，

6

9

a)，
∴G(

1

9

a，

6

9

a)
∵3

PG

=

PF1

+

PF2

，
∴G是△PF₁F₂的重心
設(shè)P（x₀，y₀），則有

1 9 a= x0 3 6 9 a= y0 3

，∴

x0= 1 3 a y0= 6 3 a

∵P為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)
∴

a2

9a2

+

6a2

9b2

=1
∴3a²=4b²
∵b²=a²-c²
∴4c²=a²
∴e=

1

2

∴橢圓C的離心率為

1

2

；
（II）∵若橢圓C短軸長(zhǎng)為2

6

，∴b=

6

∵4c²=a²，∴4（a²-b²）=a²
∴a²=8，∴c=

2

∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

6

=1
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my+

2

由

x2 8 + y2 6 =1 x=my+ 2

，消去x，可得(3m2+4)y2+6

2

my-18=0
∴

y1+y2=- 6 2 m 3m2+4 y1y2=- 18 3m2+4

∴S△F1AB=

1

2

|F1F2||y2-y1|=

24 m2+1

3m2+4

=

24

3 m2+1  + 1 m2+1

≤

24

4

=6
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)，
∴△F₁AB面積的最大值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用向量知識(shí)，確定幾何量的關(guān)系，利用直線與橢圓的聯(lián)立，借助于韋達(dá)定理，確定三角形的面積．