Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，方程f（x）=x的解集為集合A．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求f（x）；
（2）若A={1}，且a≥1，求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值（用a表示）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=2可得：c=2，由A={1，2}可得：1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，由韋達(dá)定理可得a，b的值，進(jìn)而得到二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由A={1}得：方程f（x）=x的有兩等根，即方程ax²+（b-1）x+c=0有兩等根，由韋達(dá)定理可得a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合a≥1，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=

2a-1

2a

∈[

1

2

，1），故f（x）在區(qū)間在區(qū)間[-2，2]上的最大值為f（-2）．

解答： 解：（1）∵f（0）=2，
∵c=2，
又∵A={1，2}，
∴1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，
由韋達(dá)定理得：1+2=

1-b

a

，1×2=

2

a

，
解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2．
（2）∵A={1}，
∴方程f（x）=x的有兩等根，即方程ax²+（b-1）x+c=0有兩等根，
∴1+1=

1-b

a

，1×1=

c

a

，
即b=1-2a，c=a，
∴f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∵a≥1，
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=

2a-1

2a

=1-

1

2a

∈[

1

2

，1），
∴f（x）在區(qū)間在區(qū)間[-2，2]上的最大值為f（-2）=9a-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．