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【題目】設直線與橢圓相交于兩個不同的點,與軸相交于點為坐標原點.

(1)證明:;

(2)若,求的面積取得最大值時橢圓的方程.

【答案】(1).

(2)的面積取得最大值時橢圓的方程是.

【解析】

(1)設直線l的方程為y=k(x+1),將直線的方程代入拋物線的方程,消去x得到關于y的一元二次方程,再結合直線l與橢圓相交于兩個不同的點得到根的判別式大于0,從而解決問題;

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得,由=3y2=,從而求得△OAB的面積,最后利用基本不等式求得其最大值及取值最大值時的k值,從而△OAB的面積取得最大值時橢圓方程可求.

(1)依題意,直線顯然不平行于坐標軸,故可化為.

代入,消去,

,①

由直線與橢圓相交于兩個不同的點,

,整理得.

(2)設,.由①,得

因為,得,代入上式,.

于是,的面積,

其中,上式取等號的條件是,即.

,可得.

,

這兩組值分別代入①,均可解出.

所以,的面積取得最大值時橢圓的方程是

.

練習冊系列答案
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A;

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【題目】已知函數.

(1)求函數的單調區(qū)間;

(2)當時,函數的圖象恒不在軸的上方,求實數的取值范圍.

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