Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₉=a₃₇+24，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意列出方程組，求出公差和首項(xiàng)的值，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）求出

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂項(xiàng)相消求出和．

解答： 解：（1）∵S₉=a₃₇+24，且a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列．
∴

9a1+ 9×8 2 d=a1+36d+24 (a1+3d)2=a1•(a1+12d)

解得a₁=3，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1
（2）由（1）知，Sn=

(a1+an)n

2

=

(3+2n+1)n

2

=n(n+2)

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴數(shù)列{

1

Sn

}的前n項(xiàng)和為

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2n+2

-

1

2n+4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，用公式法和裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和，屬于中檔題．