Question

已知直線l經(jīng)過(guò)直線l₁：3x+2y-5=0，l₂：2x+3y-5=0的交點(diǎn)M，
（1）若l⊥l₁，求直線l的方程；
（2）求點(diǎn)（2，1）到直線l的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：直線與圓

分析：（1）解方程組可得兩條直線的交點(diǎn)為（1，1），由垂直關(guān)系可設(shè)與l₁：3x+2y-5=0垂直的直線方程為2x-3y+b=0，代點(diǎn)求b值即可；
（2）直線l過(guò)定點(diǎn)（1，1），當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)（2，1）到l：x=1距離為d=1，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為kx-y+1-k=0，由距離公式和不等式的性質(zhì)可得．

解答： 解：（1）聯(lián)立

3x+2y-5=0 2x+3y-5=0

，解得

x=1 y=1

∴兩條直線的交點(diǎn)為（1，1），
設(shè)與l₁：3x+2y-5=0垂直的直線方程為2x-3y+b=0，
又過(guò)點(diǎn)（1，1），代入得b=1，
∴直線方程為2x-3y+1=0；
（2）∵直線l過(guò)定點(diǎn)（1，1），
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)（2，1）到l：x=1距離為d=1，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：y-1=k（x-1）即kx-y+1-k=0；
點(diǎn)（2，1）到直線l的距離d=

|k|

1+k2

=

k2 1+k2

=

1- 1 1+k2

＜1
∴當(dāng)l：x=1時(shí)，點(diǎn)（2，1）到直線l的距離的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．